Da Vinci

Задача 1

Условие:

На четири картончета са записани следните равенства:

a) Намерете неизвестните числа A, B, C и D.

б) Всяко от числата A, B, C и D е код, който отключва една от четири награди: мантия, пръстен, скиптър и книга. Определете кода, който отключва всяка награда, ако кодовете за мантията и пръстена имат еднаква цифра на десетиците, а кодът за скиптъра се записва с четири различни цифри и е по-голям от кода за мантията.

Решение:

Подточка а) Намиране на неизвестните числа

1. Намиране на A:

A = 97 * 98 – 86 * 98

Тук можем да пресметнем много по-лесно и бързо, ако приложим разпределителното свойство и изнесем общия множител (98) пред скоби:

A = (97 – 86) * 98

Пресмятаме разликата в скобите:

A = 11 * 98

A = 1078

2. Намиране на B:

B = 1274 + 2416 : 8

B = 1274 + 302

B = 1576

3. Намиране на C:

(2026 – C) : 26 = 26

2026 – C = 26 * 26

2026 – C = 676

C = 2026 – 676

C = 1350

4. Намиране на D:

D * 7 – 3535 = 3549

D * 7 = 3549 + 3535

D * 7 = 7084

D = 7084 : 7

D = 1012

Подточка б) Разпределяне на кодовете за наградите

Вече разполагаме със следните четири кода. Нека предварително им запишем и цифрите на десетиците, тъй като това ще ни трябва за условието:

A = 1078 (цифра на десетиците: 7)

B = 1576 (цифра на десетиците: 7)

C = 1350 (цифра на десетиците: 5)

D = 1012 (цифра на десетиците: 1)

Нека разгледаме логическите връзки , дадени в условието една по една:

(1) „Кодовете за мантията и пръстена имат еднаква цифра на десетиците.“

Като погледнем нашите числа, виждаме, че само 1078 и 1576 имат еднаква цифра на десетиците (това е цифрата 7). Следователно кодовете за мантията и пръстена са 1078 и 1576, но все още не знаем кое кое е.

(2) „Кодът за скиптъра се записва с четири различни цифри…“

Остават ни кодовете 1350 и 1012 (те трябва да са за скиптъра и книгата).

В числото 1012 цифрата 1 се повтаря.

В числото 1350 всички цифри са различни (1, 3, 5, 0).
Следователно кодът за скиптъра е 1350.
По метода на изключването, останалият код 1012 е за книгата.

(3): „…и (кодът за скиптъра) е по-голям от кода за мантията.“

Знаем, че скиптърът е 1350.

(1) знаем, че мантията е или 1078, или 1576.

Щом 1350 трябва да е по-голямо от кода за мантията (1350 -> мантия), то мантията трябва да е по-малкото от двете възможни числа.

Следователно мантията е 1078.

Това автоматично означава, че пръстенът е 1576.

Краен отговор:

Мантия: 1078 (код A);Пръстен: 1576 (код B);Скиптър: 1350 (код C);Книга: 1012 (код D)

Задача 2

Условие

Градинар обработва три правоъгълни градини, показани на чертежа. Известно е, че AB= 18м., обиколката на правоъгълника ABCD е  68м,  лицето на правоъгълника BEFC е 352 кв. м.,  а обиколката на BEFC е с 10 м по-малка от обиколката на правоъгълника BGHE.

a ) Намерете общата площ на трите градини.
б) Градинарят засадил с лалета половината от общата площ на трите градини. Ако с лалета е засадена четвъртината от най-малката градина и третината от най-голямата градина, колко квадратни метра от средната градина не са засадени с лалета? (Най-голяма е градината с най-голяма площ, а най-малка е градината с най-малка площ.)
в) Градинарят решил да огради градината с пътека, широка един метър. На чертежа пътеката е оцветена. Колко килограма чакъл са нужни за покриване на пътеката, ако за 5 кв.м са нужни 225 кг чакъл?

Решение:

Подточка а) Намиране на общата площ на трите градини

Първо трябва да разберем размерите (дължина и ширина) на всеки един от трите правоъгълника.

1. Градина ABCD (горна лява)

• Знаем, че страната AB = 18 м, а обиколката е 68 м.
• Формулата за обиколка на правоъгълник е 2 * (AB + BC) = 68.
• Разделяме на 2, за да намерим сбора на двете съседни страни: AB + BC = 34.
• Щом AB е 18, тогава BC = 34 – 18 = 16 м.
• Площта на тази градина е: S_ABCD = AB*BC = 18 * 16 = 288 кв. м.

2. Градина BEFC (горна дясна)

• По чертежа виждаме, че тя е залепена за първата и споделя с нея страната BC. Значи едната ѝ страна е 16 м.
• Дадено е, че лицето (площта) ѝ е 352 кв. м.
• От: S_BEFC = BE*BC  намираме:
  S_BEFC = BE*BC 
  352 = BE*16  

BE = 352 : 16 = 22 м.

3. Градина BGHE (долната)

• Тя е залепена под горната дясна градина и споделя с нея страната BE. Значи горната ѝ страна е 22 м.
• За да намерим другата ѝ страна (BG), ще  използваме връзката на обиколките.

Първо намираме обиколката на BEFC: P_BEFC = 2 * (16 + 22) = 2 * 38 = 76 м.

В условието пише, че тази обиколка е с 10 м по-малка от тази на BGHE. Значи обиколката на долната градина е: P_BGHE= 76 + 10 = 86 м.

Сега намираме страната BG:
2 * (22 + BG) = 86
22 + BG = 43
BG = 43 – 22 = 21 м.

Така площта на тази градина е: S_BGHE= 22 * 21 = 462 кв. м.

4. Обща площ

Събираме площите на трите градини: 288 + 352 + 462 = 1102 кв. м.

Подточка б) Засаждане на лалетата

1. Колко е общата площ с лалета?

Градинарят засадил половината от общата площ: 1102 : 2 = 551 кв. м.

2. Нека определим коя градина коя е?

Сравняваме площите им, за да ги подредим (условието в скобите ни помага да сме сигурни):

Най-малка: S_ABCD (288 кв. м.)

Средна: S_BEFC (352 кв. м.)

Най-голяма: S_BGHE (462 кв. м.)

3. Колко е засадено в малката и голямата?

Четвъртината от най-малката: 288 : 4 = 72 кв. м.

Третинката от най-голямата: 462 : 3 = 154 кв. м.

Общо в тези две градини са засадени: 72 + 154 = 226 кв. м.

4. Какво се случва в средната градина?

Останалите лалета трябва да са в средната градина.
Тяхната площ е общо нужните минус вече засадените: 551 – 226 = 325 кв. м.

Въпросът е колко квадрата не са засадени в нея. Изваждаме засадените от общата ѝ площ: 352 – 325 = 27 кв. м.

В средната градина не са засадени  27 кв. м.

Подточка в) Пътеката от чакъл

Това е най-хитрата част! Тази задача е от групата „рамки“ . Пътеката обикаля цялата форма отвън и е широка 1 метър. За да пресметнем площта ѝ без да объркаме застъпващите се ъгли, ще я “разрежем” на няколко прави правоъгълни ленти:

• Горна хоризонтална лента: Покрива цялата горна част на формата (18 + 22 = 40 м), плюс по 1 метър отляво и отдясно заради ъглите.
• Дължина: 42 м. Площ: 42 * 1 = 42 кв. м.
• Долна хоризонтална лента (под най-долната градина): Покрива нейната ширина (22 м), плюс по 1 метър отляво и отдясно.
• Дължина: 24 м. Площ: 24 * 1 = 24 кв. м.
• Средна хоризонтална лента (под горната лява градина): Покрива 18 м, плюс 1 метър само отляво. Отдясно тя се опира във вътрешната пътека, затова не стърчи.
• Дължина: 19 м. Площ: 19 * 1 = 19 кв. м.
• Крайна дясна вертикална лента: Височината отдясно е 16 + 21 = 37 м. Ъглите вече ги сметнахме в хоризонталните ленти, затова вземаме само тази дължина.
• Площ: 37 * 1 = 37 кв. м.
• Крайна лява вертикална лента: Височината отляво е 16 м. (Отново, ъглите са вече в хоризонталните ленти).
• Площ: 16 * 1 = 16 кв. м.
• Вътрешна вертикална лента (във вдлъбнатината): Височината на тази стена е 21 м. Но най-горният 1 метър вече е покрит от средната хоризонтална лента. Затова остават 20 м.
• Площ: 20 * 1 = 20 кв. м.

Обща площ на пътеката: 42 + 24 + 19 + 37 + 16 + 20 = 158 кв. м.

Изчисляване на чакъла:

• Щом за 5 кв. м. трябват 225 кг, то за 1 кв. м. ще трябват: 225 : 5 = 45 кг.
• За цялата пътека: 158 * 45 = 7110 кг чакъл.

Задача 3

Условие:

На масата има синя кошница и червена кошница. В  червената кошница има ягоди и малини, а в синята кошница има боровинки и къпини. Общият брой на всички плодове в двете кошници е 123, като броят на плодовете в червената кошница е с 3 повече от броят на плодовете в синята кошница .
Броят на малините е с 8 по-малък от броят на боровинките , а броят на къпините е равен на половината от сбора на броя на малините и броя на боровинките.

а) Намерете броя на плодовете в червената кошница и броят на плодовете в синята кошница .

б) Намерете броя на ягодите, броя на малините,  броя на боровинките и броя на къпините. в) Намерете колко тежат плодовете в синята кошница и колко тежат плодовете в червената кошница ако известно че:
            боровинка и малина тежат колкото една къпина;
            къпина и боровинка тежат колкото две малини;
            ягода и малина тежат общо 24 грама;
          две ягоди и къпина тежат общо 46 грама.

Решение:

Подточка а) Брой на плодовете във всяка от двете  кошници:

Имаме две кошници: Червена (Ч) и Синя (С).

• Общо в двете има 123 плода.
• В Червената има с 3 повече, отколкото в Синята.
  Ако отбележим броят плодове в Синята кошница с х, то броят плодове в Червената кошница ще е х+3 / те са с 3 повече / .
• Тогава: С+Ч = 123
                    х + ( х + 3 ) = 123
                      х = 60 / толкова са плодовете в Синята кошница. Тогава плодовете в Червената кошница са х+3 = 60+3 = 63.

Резултат: В Червената кошница има 63 плода, а в Синята – 60 плода.

Подточка б) Брой на отделните видове плодове

Това е задача от групата „ пазар“ . 

Означаваме броя на плодовете както следва ( въвеждаме си неизвестни) :

Я (ягоди); М (малини); Б (боровинки); К (къпини);
Сега записваме „връзките“ между неизвестните, които ни дава задачата: 

В  Червената кошница: (1) Я + М = 63
В Синята кошница :       (2) Б  +  К= 60
                                                  (3)М + Б = 2*К (Къпините (К) са половината от сбора на малините и боровинките)
                                                  (4)М = Б – 8       (Малините (М) са с 8 по-малко от боровинките)

Проверяваме дали броят на уравненията е равен на броят на неизвестните. Понеже имаме 4 уравнения = 4 неизвестни , знаем, че можем да намерим всяка неизвестна поотделно.

Сега вземаме Б-8 вместо М  от (4) и заместваме М с този израз в (3) . Така получаваме: 

2 * К = (Б – 8) + Б

2 * К = 2 * Б – 8  / :2    ( тук делим всичко на 2)

К = Б – 4

Сега знаем, че в Синята кошница имаме Б (боровинки) и К (къпини), които общо са 60 (2) заместваме К с Б-4 и получаваме :

Б + (Б – 4) = 60

2 * Б – 4 = 60

2 * Б = 64

Б = 32 (боровинки)

Намираме останалите:

• Къпини (К): 32 – 4 = 28
• Малини (М): 32 – 8 = 24
• Ягоди (Я): Знаем, че Я + М = 63, значи Я + 24 = 63 -> Я = 63 – 24 = 39

Резултат: Ягоди: 39, Малини: 24, Боровинки: 32, Къпини: 28.

Подточка в) Колко тежат плодовете в кошниците?

Тук техниката отново е „пазар“
Тук ще използваме грамажите, за да разберем теглото на всеки един плод.
Нека означим теглото на 1 брой плод с малка буква (я, м, б, к).

• б + м = к (боровинка + малина = къпина)
• к + б = 2 * м (къпина + боровинка = 2 малини)

Заменяме к от първото във второто:

(б + м) + б = 2 * м

2 * б + м = 2 * м

2 * б = м (Една малина тежи колкото две боровинки).

Сега да намерим къпината:

к = б + м = б + (2 * б) = 3 * б (Една къпина тежи колкото три боровинки).

Използваме грамажите:

• Ягода + Малина = 24 г: я + м = 24
• 2 Ягоди + Къпина = 46 г: 2 * я + к = 46

От първото: я = 24 – м. Заменяме го във второто:

2 * (24 – м) + к = 46

48 – 2 * м + к = 46

2 * м – к = 2

Вече знаем връзката с боровинките: м = 2 * б и к = 3 * б. Заместваме:

2 * (2 * б) – 3 * б = 2

4 * б – 3 * б = 2 -> б = 2 грама (една боровинка).

Сега намираме теглото на останалите:

• Малина (м): 2 * 2 = 4 грама.
• Къпина (к): 3 * 2 = 6 грама.
• Ягода (я): 24 – 4 = 20 грама.

Пресмятаме общото тегло на кошниците:

• Синя кошница (32 боровинки и 28 къпини):
  (32 * 2) + (28 * 6) = 64 + 168 = 232 грама.
• Червена кошница (39 ягоди и 24 малини):
  (39 * 20) + (24 * 4) = 780 + 96 = 876 грама.

Краен отговор: Плодовете в синята кошница тежат 232 г, а в червената – 876 г.

Задача 4

Условие:

Роботът Роби записал всички четирицифрени числа. Всяко четирицифрено число с цифра на хилядите 1, което се записва с четири различни цифри, оцветил в червен цвят, а всяко четирицифрено число с цифра на стотиците 2, което се записва с четири различни цифри оцветил в жълт цвят. Число, което е оцветено и в червен и в жълт цвят (например 1234 ) става оранжево.

 а) Колко числа Роби е оцветил в оранжево?
Колко четирицифрени числа са останали неоцветени?

б) Намерете сбора на всички оранжеви числа. 

в) Роби подредил всички оцветени числа в редица в нарастващ ред. Първото число в редицата с оцветените числа е 1023, а всяко следващо число в тази редица е по-голямо от числата преди него. Кое е числото в редицата с оцветените числа, пред което в тази редица има четири пъти повече числа отколкото след него?

Решение:

Подточка а-1) Колко числа са оранжеви и колко са неоцветени?

1. Намиране на оранжевите числа:

Оранжевото число има вида 12xy, където 1 е цифрата на хилядите, 2 е цифрата на стотоците а x и y са различни цифри и не са 1 или 2.

• За цифрата на десетиците (x) можем да избираме от всички цифри {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, }. Това са 8 възможности.
• За цифрата на единиците (y) можем да избираме от останалите 7 възможности (защото трябва да е различна от първите три).
• Общо оранжеви числа: 8 * 7 = 56.

Подточка а-2) Намиране на неоцветените числа:

Общият брой на всички четирицифрени числа е от 1000 до 9999, от тук можем да пресметнем общия брой четирицифрени числа по формулата : 

9999 – 999 = 9000 
/ от всички числа до 9999 ( включително, вадим Не четирицифрените – 999 / 

което прави 9000 четирицифрени  числа общо.

За да намерим неоцветените, трябва да извадим броят на червените и броят жълтите числа от общия брой числа.

• Червени числа: Започват с 1 (1xyz). Цифрите x, y, z се избират от останалите 9 цифри без повторение.
  Брой: 9 * 8 * 7 = 504.
• Жълти числа: Имат 2 на мястото на стотиците (x2yz).
• За първата цифра (x) имаме 8 възможности (тя не може да е 0 и не може да е 2).
• За десетиците (y) имаме 8 възможности (всички без x и 2).
• За единиците (z) имаме 7 възможности.
  Брой: 8 * 8 * 7 = 448.
• Общо оцветени: Трябва да съберем червените и жълтите, но да извадим оранжевите (защото сме ги преброили два пъти – веднъж в червените и веднъж в жълтите).
  Оцветени = 504 + 448 – 56 = 896.
• Неоцветени: 9000 – 896 = 8104.

Подточка б) Сбор на всички оранжеви числа

Оранжевите числа са от вида 12xy. Можем да ги разгледаме като сбор от частите им:

Така , всяко едно от тези числа може да се запише като : 1200 + xy.

Тъй като числата xy  са точно 56 такива на брой ( от подточка а), то 1200 ще е събираемо във всяко едно от тези 56 на брой числа и тогава общият сбор на числата може да се представи като две отделни събираеми, едното от което ще е 1200*56, а другото ще се получи от сборът на всчики xy  числа. Так сборът ще  бъде:

Сбор = (56 * 1200) + (сбор на всички числа xy)

1. Така за числата 1200 намираме : 56 * 1200 = 67200.

2. Частта xy: Тук всяка от цифрите {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, } се появява равен брой пъти както на мястото на десетиците, така и на единиците.

• На мястото на десетиците всяка цифра се появява по 7 пъти (защото за единиците остават 7 други варианта).
• На мястото на единиците всяка цифра също се появява по 7 пъти.
• Сборът на цифрите е / цифрите 1 и 2 не се появяват тук / : 0+3+4+5+6+7+8+9 = 42.
• Така сборът на десетиците: (42 * 7) * 10 = 2940.
• Така сборът на единиците: 42 * 7 = 294.
• Общо, сборът за всички числа  xy е : 2940 + 294 = 3234.

Краен сбор: 67200 + 3234 = 70434.

Подточка в)

 Кое е числото в редицата?

Имаме редица от оцветени числа. Понеже СЛЕД нашето число имаме много по-малко числа, нека означим броя на числата след нашето число с n.

Условието казва: “пред него има 4 пъти повече числа, отколкото след него”.

• Числа след него: n
• Числа пред него: 4n
• Общо числа в редицата: 4n + 1 (това е самото наше число) + n = 5n + 1.

Знаем, че общият брой оцветени числа е 896.

5n + 1 = 896

5n = 895

n = 179

Това означава, че пред нашето число има 4 * 179 = 716 числа.
Тоест нашето число е  n+1-вото число => и то е 717-ото подред оцветено число.

Кое е това число?: 

Ще определим това число, като  преброим числата по групи:

• Определяме броят на червените числа (започват с 1): Те са общо 504. (Всички те са в началото на редицата, защото 1 е най-малката цифра за хиляди).
• Сека определяме броят на жълти числа, които НЕ са червени (започват с 3, 4…):
  понеже търсим 717-ото число , а дотук имаме 504.
  Трябват ни още 717 – 504 = 213 числа от жълтата група.

Жълтите числа са от вида x2yz. Нека ги броим по първата цифра (x) ( х не може да е 0,1,2 ) :

• Ако x=3 (числа 32yz): 8 * 7 = 56 числа. (Общо до тук : 504 + 56 = 560)
• Ако x=4 (числа 42yz): 8 * 7 = 56 числа. (Общо: 560 + 56 = 616)
• Ако x=5 (числа 52yz): 8 * 7 = 56 числа. (Общо: 616 + 56 = 672)
• Ако x=6 (числа 62yz): 8 * 7 = 56 числа. (Общо: 672 + 56 = 728), но ние търсим 717-тото поредно число. 

Виждаме, че 717-ото число се намира в групата, започваща с 62.

В  тази групат ( на числата от вида  62yz ) ни трябва числото на позиция 717 – 672 = 45.

Възможните цифри за y и z са {0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9} (без 6 и 2).

• y=0 -> 7 числа (6201, 6203, 6204, 6205, 6207, 6208, 6209)
• y=1 -> 7 числа
• y=3 -> 7 числа
• y=4 -> 7 числа
• y=5 -> 7 числа
• y=7 -> 7 числа (Дотук: 6 * 7 = 42 числа)

Трябват ни още 3 числа от групата 628z:

• 6280
• 6281
• 6283

Отговор: Числото е 6283.