Задача 1

Условие

Неизвестното число x от равенството 2026 – 6.x = 202 е равно на:

А) 34 Б) 304 В) 671 Г) 672

Решение

1. Първо разглеждаме 6.x като един цял неизвестен умалител:

6.x = 2026 – 202
6.x = 1824

2. Сега намираме x, като разделим 1824 на 6:
x = 1824 : 6
x = 304

Верен отговор: Б) 304

Задача 2

Условие

Ани тежи 26 килограма и още третинка от нейното тегло. Колко килограма тежи Ани?

А) 78 Б) 65 В) 52 Г) 39

Решение 1:

1. Представяме цялото тегло на Ани като 1 цяло (което се състои от 3 третинки)

2. В условието се казва, че теглото ѝ е равно на 26  кг + нейното тегло:3

3. Това означава, че останалите две третинки от теглото ѝ съответстват точно на тези 26 кг.

4. Намираме колко е една третинка:
26 : 2 = 13кг

5. Цялото тегло на Ани е 3 такива третинки:
13 .3 = 39кг

Решение 2:

Нека Ани тежи х кг. Тогава, следвайки условието на задачата (като при математическите диктовки), записваме:
х = 26 + х:3

За да се „освободим” от делителя 3:
х = 26 + х:3  /.3
3.х = 3.26 + х
2.х = 3.26 („Хитра“ техника е да не се умножава до последно. (Почти) винаги ще се случи да разделим някои от множителите, както тук)
2.х = 3.26 /:2
х = 3.13 = 39

Верен отговор: Г) 39

Задача 3

Условие

От правоъгълник с дължина 26 см и широчина 20 см отрязах правоъгълник с дължина 13 см и широчина 10 см, така че една от страните му е част от страна на първоначалния правоъгълник. Обиколката на получената фигура е най-много:

А) 92 см Б) 108 см В) 118 см Г) 128 см

Решение

1. Обиколката на първоначалния (голям) правоъгълник е:

P_ABCD= 2 .(26 + 20) = 2 .46 = 92 см

2. Когато се изрязва парче от фигура по този начин, за да се получи максимална нова обиколка, парчето трябва да бъде отрязано „навътре“ от някоя от страните (като вдлъбнатина/жлеб), без да засяга ъглите на големия правоъгълник. Това е така, понеже при „разпъване“ (стандартна техника за намиране на обиколки на „сложни“ фигури) обиколката на „сложната фигура” е = обиколката на правоъгълника, получен при разпъване, + страните, които не сме успели да поставим на „разпънатия“ правоъгълник.
Така обиколката на „сложната“ фигура, получена след изрязване: обиколката на правоъгълника ABCD + отсечките “?”. Тя е най-голяма, когато отсечките “?” са най-големи, а те могат да са 10 см или 13 см.
Така:

3. За да е обиколката най-много (максимална), трябва добавените две страни да са възможно по-дългите, тоест да са по 13 см.

4. Тогава новата обиколка ще бъде:

P­­_{сложна фигура} = P_ABCD + 2 .13 = 92 + 26 = 118 см

Верен отговор: В) 118 см

Задача 4

Условие

Всяка година в последната неделя на месец август се чества „Денят на туриста“. На коя най-ранна дата може да се случи това?

А) 23 август Б) 24 август В) 25 август Г) 30 август

Решение

1. Месец август има точно 31 дни.
Търсим най-ранната възможна дата за последната неделя.
За да е последната неделя възможно най-рано през месеца, следващата неделя трябва да се пада точно след края на месеца (на 1 септември).

2. Така предната неделя е 7 дни по-рано, но 1 септември е 32-рият пореден ден (31 август е 31-яt пореден ден) и той трябва да е неделя. За да намерим предната неделя от 32 изваждаме 7:

32-7=25 -> 25 август е възможно най ранната дата.

Верен отговор: В) 25 август

Задача 5

Условие

Фигурата на чертежа е образувана от три квадрата A, B и C, като квадратът B е най-малкият. За обиколката на фигурата винаги е вярно, че:

А) е по-голяма от сбора от обиколките на A и C
Б) е по-малка от сбора от обиколките на A и C;
В) е равна на сбора от обиколките на A и C;
Г) и трите посочени по-горе случая са възможни

Решение

1. Нека означим страните на трите квадрата съответно с a, b и c. Тъй като квадрат B е най-малък и е в средата, имаме b < a и b < c.

2. Обиколката на цялата фигура е P_Ф = 4.c + 2.a+2.b +2(a-b) = 4.c+2.a+2.b+2.a-2.b = 4.c + 4.a

Записваме сборът на обиколките  на А и С:

P_A + P_C = 4.а + 4.с

3. Така: P_Ф = 4.c + 2.a+2.b +2(a-b) = 4.c+2.a+2.b+2.a-2.b = 4.c + 4.a = P_A + P_C

Верен отговор: В) е равна на сбора от обиколките на A и C

Задача 6

Условие

Кола потеглила от град A към град B със скорост 80 км/ч и след 2 часа и 30 минути подминала средата на пътя между градовете с 40 километра. След колко минути ще пристигне в B?

А) 120 Б) 90 В) 80 Г) 60

Решение

1. Тук ползваме техниката „колкото – толкова“: Ако за 1 час колата изминава 80 км, за 30 минути (половината на часа) изминава половината на километрите -> изминава 40 км.

2. Ако след 2 часа и 30 мин колата е на 40 км след средата, то намираме средата по следния начин:
2.1. Изминатият път е пътя за 2 часа + пътя за половин час: 2.80+40 = 200 км.
Но той е равен на половината разстояние между А и В и още  40 км. Ако означим разстоянието между А и В с S, то:

S:2 + 40 = 2.80+40
S:2 = 200 – 40
S:2=160

2.2. Така за втората половина на колата  са ѝ нужни още 2 часа (160:80 = 2). От тях, обаче 30 минути вече са изминати:
До град В остават 120 – 30 мин = 90 мин.

Верен отговор: Б) 90

Задача 7

Условие

На страната BC на равнобедрен триъгълник ABC с основа AB и обиколка 72 см е отбелязана точка P, за която PA = PC. Ако CA = 26 см, то колко сантиметра е обиколката на триъгълник ABP?

А) 36 Б) 46 В) 52 Г) данните не са достатъчни за да се определи

Решение

1. Триъгълникът ABC е равнобедрен с основа AB. Това означава, че бедрата му са равни: BC = CA = 26 см.

2. Използваме обиколката на ABC, за да намерим дължината на основата AB:

P_ABC= AB + BC + CA
72 = AB + 26 + 26
72 = AB + 52
AB = 72 – 52 = 20 см

3. Търсим обиколката на ABP:
P_ABP = AB + BP + PA

4. От условието знаем, че PA = PC. Заменяме PA с PC в горното равенство:
P_ABP = AB + BP + PC

5. Забелязваме, че отсечките BP и PC взети заедно образуват цялата страна BC:
BP + PC = BC = 26 см

6. Тогава обиколката на ABP става:
P_ABP = AB + BC = 20 + 26 = 46 см

Верен отговор: Б) 46

Задача 8

Условие

В купчината на Иван има 26 карти, а в купчината на Стоян 2026 карти. За един ход Иван добавя към своята купчина 10 карти, а Стоян маха от своята 6 карти. След няколко хода картичките в двете купчини станали по равен брой. Колко е този брой?

А) 1276 Б) 1250 В) 1176 Г) 125

Решение

Нека са направени х на брой хода. Тогава:
Записваме израза

26 +10.х = 2026 – 6 . х
16.х=2000
х= 125

За да определим броя карти след тези 125 хода (той е един и същ и за двамата) умножаваме 125.10 (добавените по време на играта от Иван карти) и полученото добавяме към началния брой карти:
125.10+26 = 1250+26 = 1276 карти

Верен отговор: А) 1276

Задача 9

Условие

За домашно трябваше да решим повече от 40, но по-малко от 60 задачи. С четвъртинката от тях не можах да се справя. За третинката от тях ми помогна Асен. Всички други реших сам. Колко задачи съм решил сам?

А) 28 Б) 20 В) 16 Г) 12

Решение

Броят на всички задачи трябва да се дели едновременно на 4 (заради „четвъртинката“) и на 3 (заради „третинката“). Най-малкото общо кратно на 3 и 4 е 12.

Търсим число между 40 и 60, което се дели на 12. В този интервал единственото такова число е 48 (тъй като 12.4=48).

Пресмятаме разпределението на тези 48 задачи:

Намираме брой задачи с които „ не можах да се справя“ (четвъртинка): 48:4=12 задачи.

С помощ от Асен (третинка): 48:3=16 задачи.

Всички останали са решени самостоятелно:

Решени сам: 48−(12+16)=48−28=20 задачи.

Записваме израза

26 +10.х = 2026 – 6 . х
16.х=2000
х= 125

Верен отговор: Б) 20

Задача 10

Условие

Васил пише в редичка естествени числа. Първото е 26. Всяко следващо число получава като прибавя 12 към произведението от цифрите на предишното. Кое е 2026-тото число в редичката на Васил?

А) 12 Б) 14 В) 16 Г) 18

Решение

Нека запишем първите няколко члена на редицата, за да открием закономерност (периодичност):

1-во число: 26
2-ро число: (2.6)+12=12+12=24
3-то число: (2.4)+12=8+12=20
4-то число: (2.0)+12=0+12=12
5-то число: (1.2)+12=2+12=14
6-то число: (1.4)+12=4+12=16
7-мо число: (1.6)+12=6+12=18
8-мо число: (1.8)+12=8+12=20

Забелязваме, че от 3-тото число нататък се затваря период, който започва да се повтаря: 20, 12, 14, 16, 18.

Дължината на този повтарящ се период е 5 числа.

Търсим 2026-тото число. Тъй като първите 2 числа (26 и 24) не са част от периода, ги изваждаме:

2026−2=2024

Сега разделяме оставащите позиции на дължината на периода (5):

2024:5=404 с остатък 4

Остатъкът 4 ни показва, че търсеното число е 4-тото число в рамките на самия период:

1-во в периода: 20

2-ро в периода: 12

3-то в периода: 14

4-то в периода: 16

Верен отговор: В) 16

Задача 11

Условие

В близката сладкарница може да поръчате четири пасти, два еклера и три сока за общо 18 евро и 90 цента. А две пасти и два сока от същите ще ви струват 8 евро. Колко евро ще платите, ако си поръчате една такава паста и два такива еклера?

А) 6 евро и 40 цента Б) 6 евро и 90 цента В) 12 евро и 80 цента Г) 13 евро и 80 цента

Решение

Въвеждаме неизвестните, с чиято помощ ще запишем дадените от задачата връзки (уравнения):
Пасти -> п; Еклери -> е; Сок -> с;

Записваме покупките като математически изрази (В центове! Когато имаме смесени единици (в случая евро и центове), за да ни е по-лесно, превръщаме всичко в по-малката мерна единица (в по-голямата не винаги е възможно):

4.п + 2.е + 3.с = 1890 цента (Уравнение 1)

2.п + 2*с = 800 цента (Уравнение 2)

Умножаваме Уравнение 1 на 2 , както и Уравнение 2 на 3. Така получаваме:

4.п + 2.е + 3.с = 1890 цента (Уравнение 1) / .2

2.п + 2.с = 800 цента (Уравнение 2)   / .3

8.п + 4.е + 6.с = 3780 цента (Уравнение 1)

6.п + 6.с = 2400 цента (Уравнение 2)

Сега изваждаме двата израза “почленно“ (от лявата част изваждаме лявата и от дясната – дясната).

2.п + 4.е = 1380 цента

Делим на 2: 1п + 2е = 6 евро и 90 цента

Верен отговор: Б) 6 евро и 90 цента

Задача 12

Условие

Правоъгълник с дължина AB = 11 см е разделен на два правоъгълника с обиколки съответно 20 см и 26 см. Колко квадратни сантиметра е лицето на първоначалния правоъгълник?

А) 33 Б) 44 В) 55 Г) 66

Решение

Когато един правоъгълник се раздели на два по-малки с една вертикална или хоризонтална линия, сборът от обиколките на двата нови правоъгълника е равен на обиколката на големия + два пъти дължината на разделителната линия (вътрешната стена).

За да намерим лицето, първо ни трябва другата страна на големия правоъгълник (широчината b).

Сборът на двете обиколки е 20+26=46 см.

Тъй като първоначалният правоъгълник е с дължина 11 см, той е разделен по широчината си. Тоест вътрешната разделителна линия е равна точно на широчината b.

Формулата за сбора от обиколките на двете части е:

P1​ + P2 ​= 2.дължина + 4.широчина

46=2.11+4.b

46=22+4.b

4.b=24

b=6 см

Намираме лицето на първоначалния правоъгълник:

S=a.b=11.6=66 кв. см

Верен отговор: Г) 66

Задача 13

Условие

В един от новите пети класове на СМГ има 26 ученици. Тези, които ще посещават школа само по информатика са 2 пъти по-малко от тези, които ще посещават школа по математика. А тези, които ще посещават школа само по математика са с 4 повече от тези, които ще посещават и двете школи. Две деца няма да посещават нито една от тези две школи. Колко се децата, които ще посещават и двете школи?

А) 2 Б) 4 В) 6 Г) 8

Решение

Имаме две множества -> приготвяме два кръга (виж над текста).
Сега попълване квадратчетата (с числа от текста или с неизвестни, ако текстът не ни дава числа).

В множествата имаме 26 – 2 = 24 ученика (2 не са в никой от кръговете).

Така виждаме, че 2.х ( целия оранжев кръг) + х ( парчето, което допълва оранжевия кръг до пълната осморка) = 24 

2.х + х = 24

х = 8 -> само информатика

Цялата математика е 2.х = 2.8 = 16 -> всички ученици, които ще посещават математика

Но! Математиката е сбор от двете парчета („СамоМ“и „иИиМ). Така:

b +(b+4) = 16

2.b=12

b=6

Верен отговор: В) 6

Задача 14

Условие

Петър изтеглил от банкомат 400 евро в банкноти по 50 евро и 400 евро в банкноти по 20 евро. По колко начина с тези пари може да заплати стока, която струва 640 евро?

А) 4 Б) 3 В) 2 Г) 1

Решение

Намираме с колко банкноти разполага Петър общо:

Банкноти от 50 евро: 400 : 50 = 8 броя

Банкноти от 20 евро: 400 : 20 = 20 броя

Търсим броя на банкнотите от 50 евро (x) и от 20 евро (y), така че:

50.x+20.y=640, където x≤8 и y≤20

За по-лесно разделяме уравнението на 10:

5.x+2,y=64

Тъй като 2.y и 64 са четни числа, произведението 5.x също задължително трябва да бъде четно число. Това означава, че x може да бъде само четно число (0,2,4,6,8). Изпробваме ги:

Ако x=8:

5.8+2.y=64

40+2.y=64

2.y=24

y=12 (Възможно, 12≤20) -> Начин 1

Ако x=6:

5.6+2.y=64

30+2.y=64

2.y=34

y=17 (Възможно, 17≤20) -> Начин 2

Ако x=4:

5.4+2.y=64

20+2.y=64

2.y=44

y=22 (Невъзможно, имаме само 20 банкноти)

По-малки четни стойности за x (2 и 0) ще изискват още по-голям брой банкноти от 20 евро, с каквито не разполагаме.

Следователно има точно 2 възможни начина.

Верен отговор: В) 2

Задача 15

Условие

Ако всеки от символите ∗ в записа 4∗4∗4∗4 заменим със знаците за събиране или за умножение и пресметнем получените изрази, то колко различни числа можем да получим?

А) 5 Б) 6 В) 7 Г) 8

Решение

Имаме 3 места за знаци, като на всяко можем да поставим + или .. Тъй като умножението е с предимство пред събирането, ще изследваме различните комбинации:

Само събиране: 4+4+4+4=16

Само умножение: 4⋅4⋅4⋅4=256

Едно умножение и две събирания:

4.4+4+4=16+4+4=24

4+4.4+4=4+16+4=24 (повтаря се)

4+4+4.4=4+4+16=24 (повтаря се)

Две умножения и едно събиране:

4.4.4+4=64+4=68

4+4.4.4=4+64=68 (повтаря се)

4.4+4.4=16+16=32

Нека съберем всички уникални получени резултати: 16, 24, 32, 68, 256. Общо има 5 различни стойности.

Верен отговор: А) 5

Задача 16

Условие

Нека x е най-голямото естествено число със сбор на цифрите 44, в записа на което всяка цифра се повтаря най-много 2 пъти.

Кое е числото, образувано от първите три цифри на x (отляво-надясно)?

Решение

„Сглобяваме“ числото, като се стремим да използваме възможно най-голям брой цифри. Тогава използваме най-малките максимално разрешени (те ще са събираеми в сбора 44, и ще ги вземем по 2 пъти).

Тогава те са:  0;0;1;1;2;2;3;3;4;4;5;5;6;8

Така търсеното число е 865.

Верен отговор: 865

Задача 17

Условие

Фигурата на чертежа е съставена от три квадрата, има обиколка 308 см и дължините на отсечките AB и BC са съответно 20 см и 26 см.

Колко квадратни сантиметра е лицето на тази фигура?

Решение

Означаваме страната на големия квадрат с х.

Така другите две страни са х-20 и х-26. Нека ги означим с а(=х-20) и b(=x-26).

Означаваме страната на големия квадрат с х.

Разпъваме фигурата, защото ни е дадена обиколката:

Така получаваме правоъгълник със страни: x+a = x+x-20 и x+c=x+x-26.

И обиколка Р = 308 = 2.((x+a)+(x+c)) = 2.(x+x-20+x+x-26) = 2.(4.x-46)

308 = 8.x – 92

8.x = 400

x=50

Сега намираме a и b:

a=x-20=30

b=x-26 = 24

S_A = 30.30 = 900

S_C=24.24 = 576  

S_B = 50.50 = 2500

Общото лице на сложната фигура е сбор от лицата на образуващите я фигури: S_A+S_B+S_C = 900+576+2500 = 3976

Верен отговор: 3976 см²

Задача 18

Условие

Колко на брой са естествените числа по-малки от 2026, в които сборът на всеки две поредни цифри е четен?

Решение

За да бъде сборът на две цифри четен, и двете цифри трябва да имат еднаква четност (или и двете са четни, или и двете са нечетни).

Тъй като това важи за всеки две поредни цифри, следва, че всички цифри в числото трябва да са с еднаква четност (само четни или само нечетни).

Нека разгледаме случаите според броя на цифрите в числото (естествените числа започват от 1):

Двуцифрени числа (10–99):

Само четни цифри: За първа цифра имаме 4 възможности (2, 4, 6, 8 – без 0), за втората имаме 5 възможности (0, 2, 4, 6, 8).
Общо: 4.5 = 20

Само нечетни цифри: За първа цифра имаме 5 възможности (1, 3, 5, 7, 9), за втората – 5 възможности.
Общо: 5.5 = 25

Общ брой двуцифрени числа: 20 + 25 = 45

Трицифрени числа (100–999):

Само четни цифри: 4.5.5 = 100

Само нечетни цифри: 5.5.5 = 125

Общ брой трицифрени числа: 100 + 125 = 225

Четирицифрени числа (1000–2025):

Тъй като числото трябва да е по-малко от 2026, първата цифра може да бъде само 1 или 2.

Случай 1: Първа цифра е 1 (числата от 1000 до 1999)

Тъй като 1 е нечетно число, всички следващи цифри също трябва да са нечетни (1, 3, 5, 7, 9).

Възможности за втора, трета и четвърта цифра: 5.5.5 = 125

Брой: 125

Случай 2: Първа цифра е 2 (числата от 2000 до 2025)

Тъй като 2 е четно число, всички следващи цифри трябва да са четни (0, 2, 4, 6, 8).

Втората цифра задължително трябва да е 0 (защото числата са до 2025).

Третата цифра трябва да е четна и по-малка, или равна на 2. Възможни цифри: 0 или 2.

Ако третата цифра е 0 (числа от вида 200_), четвъртата цифра може да бъде всяка четна цифра (0, 2, 4, 6, 8) => 5 числа (2000, 2002, 2004, 2006, 2008).

Ако третата цифра е 2 (числа от вида 202_), четвъртата цифра трябва да е четна и числото да е $\le 2025$. Единствените четни цифри са 0, 2, 4 => 3 числа (2020, 2022, 2024).

Брой в този случай: 5 + 3 = 8

Общ брой числа:

45 + 225 + 125 + 8 = 403

Верен отговор: 403

Задача 19

Условие

Иван има две еднакви кутии, в които има еднакви на външен вид химикалки. В едната има 20 червени и 26 зелени химикалки, а в другата 20 зелени и 26 червени. Той вади, без да гледа, по една химикалка от кутия, като редува кутиите.

Колко най-малко химикалки трябва да извади Иван, за да е сигурно, че сред тях ще има и червена, и зелена?

Решение

В най-лошия (най-неблагоприятния) за него случай Иван ще вади първоначално или само зелени, или само червени химикалки.

Ако вади първоначално само зелени, в най-лошия случай ще започне от първата кутия (с повече зелени) и ще извади от нея 21 зелени, а от втората – 20 зелени. За сега все още няма изтеглена червена.

Следващата ще е червена: 20+21+1 = 42 общо.

Верен отговор: 42

Задача 20

Условие

Асен записал на дъската естествено число. Умножил го с 23 и в полученото число изтрил цифрата на единиците. Числото, което в момента е на дъската, умножил с 8 и в полученото число отново изтрил цифрата на единиците. Така на дъската останало числото 12.

От кое число е тръгнал Асен?

Решение

Ще решим задачата отзад напред (метод на рака).

Последна стъпка: На дъската е останало числото 12, след като е била изтрита цифрата на единиците на число, получено след умножение с 8.

Това число трябва да се дели на 8. Да проверим кое число в интервала [120, 129] се дели на 8:

120 : 8 = 15 (Точно деление!)

Следващото число, което се дели на 8, е 120 + 8 = 128

Имаме две възможности за числото на дъската преди второто умножение: 15 или 16.

Имаме две възможности за числото на дъската преди второто умножение: 15 или 16.

Първа стъпка: Преди това Асен е умножил първоначалното число по 23 и е изтрил цифрата на неговите единици, получавайки съответно 15 или 16.

Това означава, че след умножението по 23, числото е било във вида 15Y (между 150 и 159) или 16Y (между 160 и 169).

Това число трябва да се дели на 23.

Нека проверим кратните на 23 в тези интервали:

23 . 6 = 138 (извън интервала)

23 . 7 = 161 (попада в интервала [160, 169]!)

23 . 8 = 184 (извън интервала)

Числото 161 отговаря перфектно на условията:

Ако първоначалното число е 7:

7 . 23 = 161. Изтриваме единиците (1) остава 16.

16 . 8 = 128. Изтриваме единиците (8) остава 12.

Верен отговор: 7

Задача 1a)

Условие

Хикс пише в редица последователни числа като започва от 26 и завършва с 2026.

Колко са числата в тази редица? Кое е числото в редицата, след което има 15 пъти по-малко числа, отколкото преди него?

Решение

За да намерим броя на числата в редица от последователни числа, изваждаме от най-голямото от „нашите” – най-голямото от ненужните (точно преди първото число от интервала).

Брой числа = 2026 – 25 =  2001

Нека означим търсеното число с N.

Представи си редицата, разделена от числото N на три части:

Числата преди N, нека са 15.х.

Самото число N (1 число).

Числата след N, нека са х.

Общият брой числа е 2001. Можем да запишем следното уравнение за частите:

х + 1 + 15х = 2001

16х = 2000

х=2000/16

х=125

N=x+1 = 125+1 = 126

Това означава, че след числото N има точно 125 числа.

Тъй като последното число в редицата е 2026, се връщаме обратно със 125 числа и така:

N = 2026 – 125 = 1901

Верен отговор: 2001, 1901

Задача 1б)

Условие

Когато Хикс записал числото х, той преброил, че до този момент е записал точно 184 цифри 2.

Колко е х, ако е възможно най-голямо?

Решение

Тук е важно да се забележат две неща:
1. Използваните цифри 2 са точно (не повече от) 184, НО!
2. Търсим възможно най-голямото число, но не задължително с цифра 2 в записа.

В двуцифрените числа (от 26 до 99):

В десетиците (числата от 26 до 29): Това са 26, 27, 28, 29  – 4 цифри „2“.

На мястото на единиците в двуцифрените числа (числата завършващи на 2): 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92 – 7 цифри “2”.

Общо за двуцифрените: 4 + 7 = 11 цифри 2.

В трицифрените числа (от 100 до 999):

Нека ги разделим по стотици:

От 100 до 199:
        На мястото на единиците – 10 цифри “2”.
        На мястото на десетиците (120, 121, …, 129)  само в “собствената” десетица – 10 цифри “2”.

Общо тук: 10 + 10 = 20 цифри “2”.

Остават: 184 – 11 – 20 = 153 цифри две за следващите числа.

От 200 до 299:

В стотиците: всяко от 100-те числа започва с 2, има 100 цифри “2”.

В единиците (202, 212, …, 292)  има  10 цифри “2”.

В десетиците (220, 221, …, 229)  има 10 цифри “2”.

Общо тук: 100 + 10 + 10 = 120 цифри “2”.
Остават 153 – 120 = 33 цифри 2 , които трябва да открием в следващата стотица.

Във всяка следваща десетица от нея (300 – 309; 310 – 319) имаме по една цифра “2” на мястото на единиците. До 319 имаме два пъти цифра “2”. Остават: 33-2=31.
В десетицата 320-329 имаме 11 двойки. Остават 31-11 = 20.

Сега във всяка следваща десетица от 330 до 429 има точно една цифра”2″ – общо 20.

Достигнахме точно 184 цифри 2 при изписването на числото 429.

Тъй като се търси възможно най-голямото число x, можем да продължим да пишем числа след 429, стига в тях да няма цифра 2 до следващото число с цифра 2 в записа:

Следващото е 432 (има цифра 2 в единиците).

Верен отговор: 431

Задача 1в)

Условие

Хикс оцветил последователно всички числа в редицата си в три цвята по следния начин: първото в бяло, следващите две в зелено, следващите три в червено, следващите четири в бяло, следващите пет в зелено, следващите шест в червено и т.н. редувал цветовете в тази последвателност, като всеки път увеличавал броя на числата с 1, докато е възможно.

Колко числа е оцветил Хикс при последното оцветяване в бяло?

Колко от числата в редицата са оцветени в бяло?

Колко от числата в редицата да оцветени в червено?

Решение

Искаме да разберем колко пъти е сменен цвета. Цветовете се редуват в цикъл от 3: Бяло; Зелено; Червено.
Числата се оцветяват в групи (блокове) с нарастващ брой:
Блок 1: 1 число в БЯЛО (Б)
Блок 2: 2 числа в ЗЕЛЕНО (З)
Блок 3: 3 числа в ЧЕРВЕНО (Ч)
Блок 4: 4 числа в БЯЛО (Б)
Блок 5: 5 числа в ЗЕЛЕНО (З)
Блок 6: 6 числа в ЧЕРВЕНО (Ч)
… и т.н.
Така можем да определим броя на „цветните“ блокове:
1+2+3+….+n ≤ 2001 (възможно е последния блок да не е пълен)
Ползвайки „обратен Гаус“, или проверка на възможните числа, получаваме n=62
Така получаваме 2001 = 1+2+3+……+60 +61+62+48

Бройките на оцветените в бяло числа  във всеки отделен блок винаги дават остатък 1 при деленето на 3, съответно тези в зелено дават остатък 2 , а тези в червено се делят на 3 без остатък.

Така от числата в горния ред последното число, което дава остатък 1,  е 61 и това са бели числа – следователно 62 са зелени и последните 48 са червени. При последното оцветяване в бяло са оцветени: 2001 –(62+48) = 1891 числа общо до последното оцветяване в бяло, включително.

Отговор: 1891 числа.

Така  само в бяло са оцветени: 1+4+7+……+61 = (21*62):2=651 числа (Гаус)
В червено са оцветени: 3+6+9+…..+60+48

Номерата на блоковете, оцветени в БЯЛО, са: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61… (числата, които при деление на 3 дават остатък 1), след това 62 в зелено, и накрая 48 в червено.

За общия брой оцветени в Бяло получаваме:

1+4+…….+61 = ((1+61)*21):2 = 651 (Гаус)

Отговор: оцветени в бяло са  651 числа

(3+6+9+……+60)+48= 630+48 = 678

Отговор: В червено са оцветени 678 числа.

Верни отговори:

а) 2001, 1901

б) 431

в) 1891, 651, 678

Задача 2

Условие

QR-код ще наричаме квадрат, в който са разположени 3 фигурки от тип 1, няколко фигурки от тип 2 и няколко фигурки от тип 3.

a) Всяка фигурка от тип 1 е съставена от 3 квадрата – К1, К2 и К3. Бялата ивица между К1 и К2 и черната ивица между К2 и К3 са еднакво широки.

Ако обиколката на К3 е 120 мм, а лицето на К1 е 100 кв. мм, то колко сантиметра е дължината на страната на К2 и колко квадратни сантиметра е черната площ на фигурка от тип 1?

б) Всяка от фигурките от тип 2 и от тип 3 е получена като от черни правоъгълници с дължина 5 см и ширина 3 см са премахнати съответно 4 и 3 квадратчета със страна 1 см.

Ако в QR-код общата обиколка на фигурките от тип 2 и тип 3 е 2026 см, то колко най-малко могат да са общо фигурите от тип 2 и тип 3?

в) Два QR-кода са различни, ако съдържат различен брой фигурки поне от единия от типовете тип 2 или тип 3. Нека в един QR-код броят на фигурките от тип 2 е х, а броят на фигурките от тип 3 е у. Числото, равно на х.у, ще наричаме “мощност”.

Колко на брой са QR-кодовете с “мощност” 84 и колко фигурки има в онзи от тях, в който са най-малко?

Решение

а)

От  обиколката на К3=120мм –> страната а = 120/4 = 30 мм;

От лицето на К1 = 100кв.мм. –> страната е 10мм;

Така ширината на ивицата е (30-10):4 = 5 мм;

Така страната на К2 =10+2.5 = 20мм = 2 см;

Сега: Sчерно = 3.3 – 2.2 + 1.1 = 6 кв.см.

б)

Нека P2 и P3 са обиколките съответно на фигури тип 2 и тип 3:

P2=2.(3+5)+4 = 20mm

P3=2.(3+5)+6 = 22mm

Нека Фигури 2 са х на брой, а Фигури 3 са y на брой. Тогава получаваме следното уравнение:
20.x+22.y = 2026 (всичко може да се раздели на 2) /:2
10.x+11.y = 1013

За да постигнем минимален брой фигури, трябва да сме взели най-много фигури тип 2 (с по-голяма обиколка):

С проверка установяваме, че y= 83. Заместваме в уравнението и получаваме x= 10.

Така общият брой фигури е най-малко 83+10 = 93.

в)

Мощността се дефинира като произведението от броя на фигурките от тип 2 (x) и тип 3 (y), т.е.:
x . y = 84

Също така, от дефиницията за QR-код в началото знаем, че той съдържа “няколко фигурки от тип 2 и няколко фигурки от тип 3”, което означава x > 1 и y > 1.

Намираме всички двойки цели числа (x, y), чието произведение е 84:

Разлагаме 84 на множители (помним, че 1 не е допустим множител!).

84=2.42
84=3.28
84=4.21
84=6.14
84=7.12

Понеже х или съответно у може да вземе стойността на единия или на другия множител от всяко разлагане, следователно има точно 10 възможни различни двойки (x, y), които определят 10 различни QR-кода.

Отговор: 10 различни QR-кода.

Търсим общия брой фигурки от тип 2 и тип 3 в онзи код, в който те са най-малко.

От таблицата виждаме, че сумата x + y е най-малка при двойките (7, 12) и (12, 7), където сумата е 7 + 12 = 19 общо фигури Тип 2 и Тип 3.

Така , като добавим 3 фигури Тип 1 получаваме: 7 + 12 + 3 = 22

Верен отговор: 6 кв. см; 93; 10, 22;